Question

18．已知{a_n}是首项为a₁，公差为d的等差数列，S_n是其前n项的和，且S₅=5，S₆=-3．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n及S_n；
（Ⅱ）设{b_n-2a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．求数列{b_n}的通项公式及其前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知S₆、S₅的值联立方程组求解等差数列的首项和公差，则等差数列的通项公式和前n项和可求；
（Ⅱ）由{b_n-2a_n}是等比数列写出其通项公式，在把a_n代入b_n-2a_n可求数列{b_n}的通项公式，然后利用分组求和得到数列{b_n}的其前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由S₅=5，S₆=-3，有$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+10d=5}\\{6{a}_{1}+15d=-3}\end{array}\right.$，
解得a₁=7，d=-3，
∴a_n=7+（n-1）×（-3）=-3n+10--------（3分）
∴S_n=$\frac{n[7+（-3n+10）]}{2}$=-$\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{17}{2}n$；--------（5分）
（Ⅱ）由题意有b_n-2a_n=3^n-1，又由（1）有b_n=3^n-1+20-6n----（7分）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（1+2a1）+（3+2a2）+…+（3n-1+2an）
=1+3+…+3^n-1+2（a₁+a₂+…+a_n）=$\frac{{3}^{n}-1}{2}-3{n}^{2}+17n$-----（10分）

点评 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和公式，训练了数列的分组求和方法，是中档题．