Question

15．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，PA=PD=4，BC=$\frac{1}{2}$AD=2，CD=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求证：PA⊥CD；
（Ⅱ） 若M是棱PC的中点，求直线PB与平面BEM所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点N，使二面角N-EB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$，若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明PE⊥面ABCD，利用PA在面ABCD内的射影是CD，CD⊥AD，即可证明：PA⊥CD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{PB}$，平面BEM的一个法向量，利用向量的夹角公式求直线PB与平面BEM所成角的正弦值；
（Ⅲ）设$\overrightarrow{PN}$=λ$\overrightarrow{PC}$（0≤λ≤1），求出平面NEB的一个法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角N-EB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵等腰△PAD中，E为AD的中点，∴PE⊥AD．
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PE⊥面ABCD，
又PA在面ABCD内的射影是CD，CD⊥AD，
由三垂线定理知：CD⊥PA；…（4分）
（Ⅱ）以E为原点，分别以$\overrightarrow{EA}$，$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{EP}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
由PE=4cos30°=2$\sqrt{3}$得P（0，0，2$\sqrt{3}$）
又∵C（-2，2$\sqrt{3}$，0），
∴M（-1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{EM}$=（-1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
又$\overrightarrow{EB}$=（0，2$\sqrt{3}$，0）
设平面BEM的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}y=0}\\{-x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1则x=$\sqrt{3}$，y=0，
∴$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，1），
又∵$\overrightarrow{PB}$=（0，2$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），
设直线PB与平面BEM所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|-2\sqrt{3}|}{2×\sqrt{24}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$； …（8分）
（3）假设在棱PC上存在点N，使二面角N-EB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$，
设$\overrightarrow{PN}$=λ$\overrightarrow{PC}$（0≤λ≤1），则$\overrightarrow{EN}$=（-2λ，2$\sqrt{3}$λ，2$\sqrt{3}$（1-λ）），
又$\overrightarrow{EB}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），设平面NEB的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}b=0}\\{-2λa+2\sqrt{3}λb+2\sqrt{3}（1-λ）c=0}\end{array}\right.$，
令c=λ，a=$\sqrt{3}$（1-λ），
∴$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$（1-λ），0，λ），
又$\overrightarrow{m′}$=（0，0，1）为平面EBC的一个法向量，
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{m′}$＞=$\frac{|λ|}{\sqrt{3（1-λ）^{2}+{λ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，解得λ=$\frac{1}{3}$（负值舍），
故存在点N为棱PC的靠近P的三分点符合条件．…（12分）

点评 本题主要考查线面垂直的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．