Question

如图所示，AC=BC=1，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，CE∥PA，PA=2CE=2．
（Ⅰ）求三棱锥E-PAB的体积；
（Ⅱ）在棱PB上是否存在一点F，使得EF∥平面ABC？证明你的结论．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用V_E-PAB=V_B-PAE，求三棱锥E-PAB的体积；
（Ⅱ）取棱PB的中点为F，则有EF∥平面ABC，利用线面平行的判定定理证明即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵AC=BC=1，PA=2，
∴V_E-PAB=V_B-PAE=

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

 
（Ⅱ）取棱PB的中点为F，则有EF∥平面ABC．证明如下：
取棱AB的中点为G，连接EF，FG，GC，则FG∥PA，FG=1
∵EC∥PA，CE=1，
∴FG∥CE，FG=EC，
因此四边形EFGC为平行四边形，
∴EF∥CG，
∵EF?平面ABC，CG?平面ABC，
∴EF∥平面ABC

点评：本题考查直线与平面平行的判定，锥体体积的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，转化思想，是中档题．