Question

如图，在长方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，AD=CD=4，AD₁=5，M是线段B₁D₁的中点．（1）求证：BM∥平面D₁AC；
（2）求直线DD₁与平面D₁AC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以D为原点，DA，DA，DD₁分别为xyz轴建立空间直角坐标系D-xyz，由坐标法可证

BM

∥

ND1

，进而可得BM∥ND₁．由线面平行的判定定理可得；（2）设平面D₁AC的法向量为

n

=（x，y，z），根据

n

•

AC

=-4x+4y=0，且

n

•

AD1

=-4x+3z=0，可求，进而可得cos＜

DD1

，

n

＞，即得所求．

解答： 解：（1）在长方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
∵AD=4，AD₁=5，∴DD₁=

AD12-AD

2=3，
以D为原点，DA，DA，DD₁分别为xyz轴建立空间直角坐标系D-xyz，
根据题意得A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），D（0，0，0），
B₁（4，4，3），D₁（0，0，3），线段B₁D₁的中点为M（2，2，3），线段AC的中点为N（2，2，0）．
∴

BM

=（-2，-2，3），

ND1

=（-2，-2，3）．∴

BM

∥

ND1

，∴BM∥ND₁．
∵BM?平面D₁AC，ND₁?平面D₁AC，∴BM∥平面D₁AC．
（2）∵

DD1

=（0，0，3），

AC

=（-4，4，0），

AD1

=（-4，0，3），
设平面D₁AC的法向量为

n

=（x，y，z），
根据已知得

n

•

AC

=-4x+4y=0，且

n

•

AD1

=-4x+3z=0，
取x=1，可得y=1，z=

4

3

，∴

n

=（1，1，

4

3

）是平面D₁AC的一个法向量，
∴cos＜

DD1

，

n

＞=

DD1 • n

| DD1 || n |

=

2 34

17

，
∴直线DD₁与平面D₁AC所成角的正弦值等于

2 34

17

点评：本题考查空间线面的位置关系，涉及线面平行的判定和线面角的正弦值，建系是解决问题的关键，属中档题．