Question

（理）若

a

，

b

，

c

均为单位向量，

a

•

b

=-

1

2

，

c

=x

a

+y

b

，

a

•

b

=-

1

2

（x，y∈R），则x+y的最大值是（　　）

• A、2
• B、

  3

• C、

  2

• D、1

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：要求x+y的最大值，先来找x，y的关系，根据题目给的条件，很显然需

c

=x

a

+y

b

两边进行平方，这样会得到x²-xy+y²=1，令x+y=t，解出y=t-x带入x²-xy+y²=1中，然后将得到的等式看成关于x的方程，该方程有解，所以△≥0，所以解出这个不等式便能得到x+y的最大值．

解答： 解：

c

2=(x

a

+y

b

)2=x2

a

2+2xy

a

•

b

+y2

b

2；
∵

a

，

b

，

c

均为单位向量，

a

•

b

=-

1

2

∴x²-xy+y²=1             ①；
令x+y=t，则y=t-x，带入①得：3x²-3tx+t²-1=0       ②
可以把②看成关于x的方程，该方程有解，所以：
△=（-3t）²-12（t²-1）≥0，解得-2≤t≤2；
∴x+y的最大值为2．
故选A．

点评：令x+y=t，得到y=t-x并带入到等式x²-xy+y²=1中，并将得到的式子看成关于x的方程，方程有解，判别式△≥0，这一过程是求解本题的关键．