Question

函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1时有极值10，则a的值为（　　）

• A、-3或4
• B、4
• C、-3
• D、3或4

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：先对函数f（x）进行求导，然后根据f′（1）=0，f（1）=10可求出a，b的值，再根据函数的单调性进行检验即可确定最后答案．

解答： 解：求导函数，可得f′（x）=3x²+2ax+b
∵函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1时有极值10
∴f′（1）=2a+b+3=0，f（1）=a²+a+b+1=10
解得a=-3，b=3或a=4，b=-11，
当a=-3时，f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，∴x=1不是极值点
当a=4，b=-11时，f′（x）=3x²+8x-11=（x-1）（3x+11），在x=1的左右附近，导数符号改变，满足题意
∴a=4
故选：B．

点评：本题考查函数的极值与其导函数的关系，函数取到极值时一定有导函数等于0，反之不一定成立．