Question

8．已知函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且此函数图象过（1，5）
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性（不必证明）；
（3）若x²+4≥ax在（0，+∞）上恒成立，求参数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接把点（1，5）代入函数解析式求得m值；
（2）利用“对勾”函数的单调性写出函数的单调区间；
（3）把已知不等式变形，分离参数a，利用基本不等式求出最小值后得答案．

解答 解：（1）由函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$的图象过（1，5），得
5=1+m，即m=4；
（2）由（1）知，f（x）=$x+\frac{4}{x}$，
由“对勾”函数的单调性可知：
当x∈（0，2）时，f（x）为减函数，
当x∈[2，+∞）时，f（x）为增函数；
（3）由x²+4≥ax在（0，+∞）上恒成立，得
$a≤\frac{{x}^{2}+4}{x}=x+\frac{4}{x}$在（0，+∞）上恒成立，
∵$x+\frac{4}{x}≥2\sqrt{x•\frac{4}{x}}=4$（当且仅当x=2时“=”成立）．
∴a≤4．

点评 本题考查函数的单调性，考查了函数恒成立问题，训练了分离变量法，考查利用基本不等式求最值，是中档题．