Question

9．己知函数f（x）=k3^-x-3^x是定义域为R的奇函数．
（1）求实数k值；
（2）试判断f（x）单调性，并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＞0对任意x∈（1，2）都成立的实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质，利用f（0）=0进行求解即可．
（2）求出函数的解析式，结合指数函数的单调性进行判断，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，构造二次函数，利用根的分布建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：（1）∵函数的定义域是（-∞，+∞），
∴若f（x）是奇函数，则f（0）=0，即f（0）=k•3⁰-3⁰=k-1=0，
则k=1．
（2）∵k=1，∴f（x）=3^-x-3^x，
∵y=3^-x是减函数，y=3^x是增函数，
∴f（x）=3^-x-3^x是减函数，
则不等式f（x²+tx）+f（4-x）＞0等价为f（x²+tx）＞-f（4-x）=f（x-4）对任意x∈（1，2）都成立，
即x²+tx＜x-4，对任意x∈（1，2）都成立，
则x²+（t-1）x+4＜0，对任意x∈（1，2）都成立，
设g（x）=x²+（t-1）x+4，
则等价为$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≤0}\\{g（2）≤0}\\{-\frac{t-1}{2}＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{t+4≤0}\\{6+2t≤0}\\{t-1＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{t≤-4}\\{t≤-3}\\{t＜1}\end{array}\right.$，
即t≤-4．

点评 本题主要考查函数奇偶性的性质以及不等式恒成立问题，根据条件构造一元二次函数，利用根的分布与不等式之间的关系是解决本题的关键．