Question

20．函数f（x）=sin2x•cos（α-$\frac{π}{4}$）+（1-2sin²x）•sin（α-$\frac{π}{4}$）．
（1）若α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的最大值；
（2）是否存在实数x与α，使得f（x）=2-cosα成立？若存在，请给出一组，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=sin（2x+α-$\frac{π}{4}$），由角的范围可得最值；
（2）当x=$\frac{3π}{8}$且α=0时，满足题意．

解答 解：（1）化简可得f（x）=sin2x•cos（α-$\frac{π}{4}$）+（1-2sin²x）•sin（α-$\frac{π}{4}$）
=sin2x•cos（α-$\frac{π}{4}$）+cos2x•sin（α-$\frac{π}{4}$）=sin（2x+α-$\frac{π}{4}$），
∵α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+α-$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{5π}{4}$]，
∴当2x+α-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取最大值1；
（2）当x=$\frac{3π}{8}$且α=0时，f（x）=f（$\frac{3π}{8}$）=sin（$\frac{3π}{4}$+0-$\frac{π}{4}$）=1，
此时2-cosα=2-cos0=2-1=1，满足f（x）=2-cosα成立．

点评 本题考查三角函数的恒等变换，涉及三角函数的最值，属基础题．