Question

11．设全集A={x|x²+4x=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}．
（1）若A∩B={0}时，求实数a的值；
（2）如果A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接将元素0代入集合B即可求得实数a的值；
（2）先由题设条件求出集合A，再由A∩B=B，导出集合B的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意得A={0，-4}，
由A∩B={0}得，x=0是方程x²+2（a+1）x+a²-1=0的一个根，
所以，a=1或a=-1；
当a=1时，B={0，-4}，不合题意；
当a=-1时，B={0}，符合题意；故a=-1．
（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，对集合B分类讨论如下：
①当B=∅时，即方程x²+2（a+1）x+a²-1=0无实根，
所以，△=[2（a+1）]²-4（a²-1）=8a+8＜0，
解得，a＜-1，符合题意；
②当B只含一个元素时，即方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有两相等实根，
所以，△=0，解得a=-1，此时，方程为x²=0，
因此，B={0}，符合题意；
③当B含两元素时，即B=A={0，-4}，此时A，B对应的方程同解，
所以，$\left\{\begin{array}{l}{2（a+1）=4}\\{a^2-1=0}\end{array}\right.$，解得a=1，
综合以上讨论得，实数a的取值范围为：（-∞，-1]∪{1}．

点评 本题主要考查了集合的包含关系的判断和应用，元素与集合的关系，方程根的讨论，体现了分类讨论思想，属于中档题．