【题目】一个正方体的平面展开图如图所示,在这个正方体中,点是棱的中点,,分别是线段,(不包含端点)上的动点,则下列说法正确的是( )
A.在点的运动过程中,存在
B.在点的运动过程中,存在
C.三棱锥的体积为定值
D.三棱锥的体积不为定值
【答案】BC
【解析】
由异面直线的判断方法,可判断;运用线面垂直的判断与性质定理可判断;由棱锥的体积公式和线面距离与点面距离的关系,可判断,.
解:由平面展开图,还原正方体,如图所示.对于A选项,因为点是线段上的动点,所以平面,因为平面,且与平面不平行,所以不存在.故A错误;
对于B选项.连接,,连接,,取的中点,连接,.则为的中点,,所以,,,四点共面,因为,,所以平面,因为平面,所以,即当点运动到点时,,故B正确;
对于C选项,因为点是棱的中点,所以,因为平面,平面,所以平面,则直线上的任意一点到平面的距离相等,且为定值,因为点是线段上的动点,所以点到平面的距离为定值,因为的面积为定值,所以(定值),故C正确;
对于D选项,因为点是线段上的动点。所以的面积为定值,且平面就是平面,因为点到平面的距离是定值,即点到平面的距离也是定值,所以三棱锥的体积(定值),故D错误.
故选:BC
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【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=n2+pn,且a4,a7,a12成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn,求数列{bn}的前n项和Tn.
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【题目】运用祖暅原理计算球的体积时,夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱,与半球(如图①)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图③),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )
A.B.C.D.
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【题目】在3世纪中期,我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示),当变得很大时,等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想,可得到sin3°的近似值为( )(取近似值3.14)
A.0.012B.0.052
C.0.125D.0.235
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【题目】在三棱锥中,,在底面上的投影为的中点,.有下列结论:
①三棱锥的三条侧棱长均相等;
②的取值范围是;
③若三棱锥的四个顶点都在球的表面上,则球的体积为;
④若,是线段上一动点,则的最小值为.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②B.②③C.①②④D.①③④
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【题目】如图,在边长为4的正三角形中,E为边的中点,过E作于D.把沿翻折至的位置,连结.翻折过程中,其中正确的结论是( )
A.;
B.存在某个位置,使;
C.若,则的长是定值;
D.若,则四面体的体积最大值为
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