Question

【题目】在三棱锥中，，在底面上的投影为的中点，.有下列结论：

①三棱锥的三条侧棱长均相等；

②的取值范围是；

③若三棱锥的四个顶点都在球的表面上，则球的体积为；

④若，是线段上一动点，则的最小值为.

其中所有正确结论的编号是（ ）

A.①②B.②③C.①②④D.①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据三角形全等判断①，根据的值和三角形的内角和得出的范围，计算外接球半径判断③，将棱锥侧面展开计算最短距离判断④．

解：如图1，，是的中点，，

又平面，，，故①正确；

，，又，，

过作，为垂足，如图2，则，

又，，，故②正确；

，为平面截三棱锥外接球的截面圆心，

设外接球球心为，则在直线上，如图3，

设，则，解得，故为外接球的球心．

外接球的体积为，故③错误．

若，则，又，故是等边三角形，

将平面沿翻折到平面上，如图4，图5.

则的最短距离为线段的长．

，，，

，故④正确．

故选：．