Question

【题目】在多面体中，正方形和矩形互相垂直，，分别是和的中点，.

（Ⅰ）求证：平面.

（Ⅱ）在边所在的直线上存在一点，使得平面，求的长；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由面面垂直的性质可证明线面垂直.

(Ⅱ)建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量为，利用方向向量和法向量垂直可得，从而可求出的坐标，进而可求出的长.

(Ⅲ)求直线的方向向量，结合(Ⅱ)的法向量可求出线面角的正弦值.

证明：（I）由于正方形和矩形互相垂直，交线为，

由面面垂直的性质定理可知平面.

（Ⅱ）以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，设，那么

，，，设平面的法向量为，则有，取平面的一个法向量为，

要得平面，则，求得，的长为.

（III），由（2）知平面的一个法向量为，

设直线与平面所成角的大小为，则

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