Question

甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．

(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；

(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．

Answer 1

解　用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A_k表示“第k局甲获胜”，B_k表示“第k局乙获胜”，则P(A_k)＝，P(B_k)＝，k＝1,2,3,4,5.

(1)P(A)＝P(A₁A₂)＋P(B₁A₂A₃)＋P(A₁B₂A₃A₄)

＝P(A₁)P(A₂)＋P(B₁)P(A₂)P(A₃)＋P(A₁)P(B₂)·P(A₃)P(A₄)

(2)X的可能取值为2,3,4,5.

P(X＝2)＝P(A₁A₂)＋P(B₁B₂)＝P(A₁)P(A₂)＋P(B₁)P(B₂)＝，

P(X＝3)＝P(B₁A₂A₃)＋P(A₁B₂B₃)

＝P(B₁)P(A₂)P(A₃)＋P(A₁)P(B₂)P(B₃)＝，

P(X＝4)＝P(A₁B₂A₃A₄)＋P(B₁A₂B₃B₄)

＝P(A₁)P(B₂)P(A₃)P(A₄)

＋P(B₁)P(A₂)P(B₃)·P(B₄)＝.

P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.

故X的分布列为

X	2	3	4	5
P