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在数列中,,且.
(Ⅰ) 求,猜想的表达式,并加以证明;
(Ⅱ)设,求证:对任意的自然数都有.
(Ⅰ)  , (Ⅱ)
所以
所以只需要证明
(显然成立),所以命题得证

试题分析:(Ⅰ)容易求得:.          1分
故可以猜想.下面利用数学归纳法加以证明:
显然当时,结论成立.                       2分
假设当时(也可以),结论也成立,即
,.                                  3分
那么当时,由题设与归纳假设可知:
   4分
即当时,结论也成立,综上,对,成立.       6分
(Ⅱ),  8分
所以
.                              10分
所以只需要证明

(显然成立)
所以对任意的自然数,都有.      12分
点评:数学归纳法用来证明与正整数有关的题目,证明步骤:1,证明当时命题成立。2,假设当时命题成立,借此证明当是命题成立,综上1,2得证;数列求和常用的方法有分组求和裂项相消求和错位相减求和等
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