试题分析:(Ⅰ)容易求得:
. 1分
故可以猜想
.下面利用数学归纳法加以证明:
显然当
时,结论成立. 2分
假设当
;
时(也可以
),结论也成立,即
,
. 3分
那么当
时,由题设与归纳假设可知:
4分
即当
时,结论也成立,综上,对
,
成立. 6分
(Ⅱ)
, 8分
所以
. 10分
所以只需要证明
(显然成立)
所以对任意的自然数
,都有
. 12分
点评:数学归纳法用来证明与正整数有关的题目,证明步骤:1,证明当
时命题成立。2,假设当
时命题成立,借此证明当
是命题成立,综上1,2得证;数列求和常用的方法有分组求和裂项相消求和错位相减求和等