Question

3．已知函数f（x）=lnx-a（1-$\frac{1}{x}$）  （a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）的最小值为0，求a；
（3）在（2）的条件下，设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）-lna_n+2，记[x]表示不大于x的最大整数，（如[3.1]=3），求S_n=[a₁]+[a₂]+…+[a_n]．

Answer 1

分析 （1）利用导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，即可求得f（x）的单调区间；
（2）（i）利用（Ⅰ）的结论即可求得a的值；
（3）利用归纳推理，猜想当n≥3，n∈N时，1＜a_n＜2，利用数学归纳法证明，即可得出结论．

解答 解：（1）由已知得f（x）定义域为（0，+∞）     …（1分）
∵f?（x）=$\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}=\frac{x-a}{x}$
当a≤0时，f?（x）＞0∴f（x）的增区间是（0，+∞），无减区间．
当a＞0时，x∈（0，a）时，f?（x）＜0
x∈（a，+∞）时，f?（x）＞0
∴f（x）的单调增区间为（a，+∞），单调减区间为（0，a）  …（4分）
（2）由（1）知当a≤0时，f（x）无最小值
当a＞0时，f（x）_min=f（a）=lna-a+1=0∴a=1   …（6分）
（3）∵a=1∴f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1∴a_n+1=f（a_n）-lna_n+2=$\frac{1}{{a}_{n}}$+1    …（7分）
∵a₁=1∴a₂=2    a₃=$\frac{3}{2}$     a₄=$\frac{5}{3}$
下面证明当n≥3时，a_n∈（1，2）
1°当n=3时，a₃=$\frac{1}{2}$∴a₃∈（1，2）
2°设a_n∈（1，2）∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1∴a_n+1∈（1，2）
综合1°，2°可知当n≥3时，a_n∈（1，2）…（10分）
∴[a₁]=1[a₂]=2[a₃]=[a₄]=…=[a_n]=1∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1\\;\\;\\;n=1}\\{n+1\\;\\;\\;n≥2}\end{array}\right.$..…（12分）

点评 本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．