Question

已知f（x）=

logax       (x≥1) (3-a)x-1     (x＜1)

 是定义在R上x₁≠x₂，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0的函数，求a的取值范围是（　　）

• A、[2，3）
• B、（1，3）
• C、（1，+∞）
• D、（1，2]

Answer 1

考点：对数函数的单调性与特殊点,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）满足在R上，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0知，f（x）在R上单调递增，从而得f（x）在x≥1及x＜1时均递增，且在x=1出函数值的大小关系，列出不等式组解之即可．

解答： 解：由f（x）满足在R上，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0知，f（x）在R上单调递增，
∴x≥1时f（x）递增，x＜1时f（x）递增，且（3-a）×1≤log_a1，
故有

a＞1 3-a＞0 (3-a)×1-1≤loga1

，即

a＞1 a＜3 2-a≤0

，解得2≤a＜3，
故选A．

点评：本题考查函数单调性的判断及其性质，考查学生的理解问题解决问题的能力．