Question

已知函数f（x）=x³+

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（a-1）x²-3ax+1，x∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）当a=3时，若函数f（x）在区间[m，2]上的最大值为28，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，然后分a=-1，a＞-1和a＜-1把函数的定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调区间；
（2）把a=3代入函数解析式，求导后得到导函数的零点，把定义域分段后列表分析原函数的单调性并求出极值，结合函数的极值及函数f（x）在区间[m，2]上的最大值为28求得m的取值范围．

解答： 解：（1）由f（x）=x³+

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（a-1）x²-3ax+1，得：
f′（x）=3x²+3（a-1）x-3a=3（x-1）（x+a）．
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=-a．
①当-a=1，即a=-1时，f′（x）=3（x-1）²≥0，
f（x）在（-∞，+∞）单调递增；
②当-a＜1，即a＞-1时，
当x＜-a或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-a），（1，+∞）内单调递增．
当-a＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（-a，1）内单调递减；
③当-a＞1，即a＜-1时，
当x＜1或x＞-a时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，1），（-a，+∞）内单调递增．
当1＜x＜-a时f′（x）＜0，f（x）在（1，-a）内单调递减．
综上，当a＜-1时，f（x）在（-∞，1），（-a，+∞）内单调递增，
f（x）在（1，-a）内单调递减；
当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递增；
当a＞-1时，f（x）在（-∞，-a），（1，+∞）内单调递增，f（x）在（-a，1）内单调递减．
（2）当a=3时，f（x）=x³+3x²-9x+1，x∈[m，2]，
f′（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1），
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=-3．
将x，f′（x），f（x）变化情况列表如下：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↘	极小	↗

由此表可得，f（x）_极大值=f（-3）=28，f（x）_极小值=f（1）=-4．
又f（2）=3＜28，
故区间[m，2]内必须含有-3，即m的取值范围是（-∞，-3]．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，是中档题．