Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=CB=CC₁=2，E是AB中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁CE；
（Ⅱ）求直线A₁C₁与平面A₁CE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，可知CC₁⊥AC，CC₁⊥BC，∠ACB=90°，AC⊥BC．建立空间直角坐标系C-xyz．则A，B₁，E，A₁，可得，

AB1

，

CE

，

CA1

可知，
根据

AB1

•  

CE

=0，

AB1

•  

CA1

=0，推断出AB₁⊥CE，AB₁⊥CA₁，根据线面垂直的判定定理可知AB₁⊥平面A₁CE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

AB1

是平面A₁CE的法向量，

C1A

1 =

CA

 =  (2， 0 ，0)，进而利用向量数量积求得直线A₁C₁与平面A₁CE所成角的正弦值

解答： （Ⅰ）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴CC₁⊥AC，CC₁⊥BC，
又∠ACB=90°，
即AC⊥BC．
如图所示，建立空间直角坐标系C-xyz．A（2，0，0），B₁（0，2，2），E（1，1，0），A₁（2，0，2），
∴

AB1

=(-2， 2， 2)，

CE

= (1， 1， 0)，

CA1

= (2， 0， 2)．
又因为 

AB1

•  

CE

=0，

AB1

•  

CA1

=0，
∴AB₁⊥CE，AB₁⊥CA₁，AB₁⊥平面A₁CE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，

AB1

=(-2， 2， 2)是平面A₁CE的法向量，

C1A

1 =

CA

 =  (2， 0 ，0)，
∴|cos＜

C1A1

，

AB1

＞|=

|C1A1 • AB1 |

| C1A1 || AB1 |

=

3

3

．
设直线A₁C₁与平面A₁CE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜

C1A1

，

AB1

＞|=

3

3

．
所以直线A₁C₁与平面A₁CE所成角的正弦值为

3

3

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理，向量的数量积的运用，法向量的运用．综合考查了学生所学知识的灵活运用．