Question

若S_n=cos

π

8

+cos

2π

8

+…+cos

nπ

8

（n∈N^*），则在S₁，S₂，…，S₂₀₁₄中，正数的个数是（　　）

• A、882
• B、756
• C、750
• D、378

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：利用余弦函数的象限符号求得S₁，S₂，…，S₂₀₁₄前16项中的正数项的个数，由周期性得到前2000项中的正数项个数，最后求得后14项中的正数项个数，则答案可求．

解答： 解：∵cos

π

8

＞0，cos

2π

8

＞0，cos

3π

8

＞0，cos

4π

8

=0，
cos

5π

8

=-cos

3π

8

＜0，cos

6π

8

=-cos

2π

8

＜0，cos

7π

8

=-cos

π

8

＜0，
cos

8π

8

=-1，cos

9π

8

＜0，cos

10π

8

＜0，cos

11π

8

＜0，cos

12π

8

=0，
cos

13π

8

=-cos

11π

8

＞0，cos

14π

8

=-cos

10π

8

＞0，cos

15π

8

=-cos

9π

8

＞0，
cos

16π

8

=1．
∴S₁＞0，S₂＞0，S₃＞0，S₄＞0，S₅＞0，S₆＞0．
S₇=0，S₈＜0，S₉＜0，…S₁₅＜0，S₁₆=0．
∴S₁，S₂，…，S₁₆中是正数的有6项．
由余弦函数的周期性可知，S₁，S₂，…，S₂₀₀₀中的正数项由750项．
S₂₀₀₁，S₂₀₀₂，…，S₂₀₁₄中有6项为正数项．
∴在S₁，S₂，…，S₂₀₁₄中，正数的个数是756．
故选：B．

点评：本题考查了数列的和，考查了余弦函数的诱导公式，解答的关键是对周期规律的发现，是中档题．