Question

已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）求证： ()；
（Ⅲ）求面积的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）椭圆W的方程为
（Ⅱ）见解析
（Ⅲ）面积的最大值为

（Ⅰ）设椭圆W的方程为，由题意可知
解得，，，
所以椭圆W的方程为．……………………………………………4分
（Ⅱ）解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线 的方程为．
得.
由直线与椭圆W交于、两点，可知
，解得．
设点，的坐标分别为，,
则，，，．
因为，，
所以，.
又因为



，
所以．   ……………………………………………………………10分
解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为.
于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，,
则点的坐标为，，．
由椭圆的第二定义可得
,
所以，，三点共线，即．…………………………………10分
(Ⅲ)由题意知



，
当且仅当时“=”成立，
所以面积的最大值为．