Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 已知S2=6，an+1=4Sn+1，n∈N* ．
（1）求通项an；
（2）设bn=an﹣n﹣4，求数列{|bn|}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an+1=4Sn+1，①

∴当n≥2时，an=4Sn﹣1+1，②

由①﹣②，得

an+1﹣an=4（Sn﹣Sn﹣1）=4an（n≥2），

∴当n≥2时，an+1=5an（n≥2），

∴ =5．

∵S2=6，an+1=4Sn+1，n∈N*．

∴ ，

解得 ，

∴ =5，

∴数列{an}是首项a1=1，公比为5的等边数列，

∴an=5n﹣1；

（2）解：由题意知|bn|=|5n﹣1﹣n﹣4|，n∈N*．

易知，当n≤2时，5n﹣1＜n+4；当n≥3时，5n﹣1＞n+4．

∴当n≤2时，|bn|=n+4﹣5n﹣1；

当n≥3时，|bn|=5n﹣1﹣（n+4），

∴T1=b1=4，T2=b1+b2=5．

当n≥3时，Tn=T2+b2+b3+…+bn

=5+[52﹣（3+4）+[52﹣（4+4）]+…+[5n﹣1﹣（n+4）]

=5+（52+53+…+5n﹣1）﹣[（3+4）+（4+4）+…+（n+4）]

=5+ ﹣

= ．

又∵T1=4不满足上式，T2=5满足上式，

∴Tn=

【解析】（1）利用已知条件和变形等式an=4Sn﹣1+1推知数列{an}是等边数列，根据等比数列的通项公式进行解答；（2）利用（1）中的通项公式推知{|bn|}的通项公式．然后由分组求和法来求数列{|bn|}的前n项和Tn ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．