Question

6．如果对定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数①y=-x³+x+1；②y=3x-2（sinx-cosx）；③y=e^x+1；④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ln|x|{\;}_{\;}^{\;}x≠0\\ 0{\;}_{\;}^{\;}{\;}_{\;}^{\;}x=0\end{array}\right.$．其中“H函数”的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，等价为函数f（x）为增函数，利用导数或函数单调性的性质判断函数的单调性即可．

解答 解：若函数f（x）对任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
则等价为函数f（x）为增函数，
则①y=-x³+x+1；
则y′=-3x²+1，由f′（x）＞0得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则函数的单调递增区间为不是（-∞，+∞），不满足条件．
②y=3x-2（sinx-cosx）；
则y′=3-2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）＞0恒成立，即函数在（-∞，+∞）上为增函数满足条件．
③y=e^x+1在（-∞，+∞）为增函数，满足条件；
④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ln|x|{\;}_{\;}^{\;}x≠0\\ 0{\;}_{\;}^{\;}{\;}_{\;}^{\;}x=0\end{array}\right.$为偶函数，在（-∞，+∞）不是单调递增函数，不满足条件．
故“H函数”的个数为2个，
故选：B．

点评 本题主要考查与函数有关的新定义，弄懂题意，将条件转化为函数的单调递增函数是解决本题的关键．