Question

14．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b，求：
（1）$\frac{a}{c}$的值；
（2）$\frac{sinA}{sinBsinC}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根据余弦定理求得a，b和c的关系式，再利用c=3b消去b，进而可得答案．
（2）对原式进行化简整理得由正弦定理和（Ⅰ）的结论求得结果．

解答 解：（1）∵由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（$\frac{c}{3}$）²+c²-2•$\frac{1}{3}$c•c•$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{9}$c²．
∴解得：$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
（2）∵A=60°，c=3b，$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴由正弦定理可得：sinC=3sinB=$\frac{3sinA}{\sqrt{7}}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴解得：sinC=$\frac{3×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$，sinB=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$，
∴$\frac{sinA}{sinBsinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}×\frac{3×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}}$=$\frac{14\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题中常使用的方法，应熟练掌握，属于中档题．