Question

6．已知函数f（x）和g（x）分别是R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=2e^x，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）当x≥0时，分别出求曲线y=f（x）和y=g（x）切线斜率的最小值；
（Ⅲ）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，曲线y=$\frac{f（x）}{x}$在曲线y=ag（x）+2（1-a）和y=bg（x）+2（1-b）之间，且相互之间没有公共点．

Answer 1

分析 （1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f（x）、g（x）的解析式；
（Ⅱ）分别求出f（x），g（x）的导数，运用基本不等式和单调性可得最小值；
（Ⅲ）由题意可得当x＞0时，$\frac{f（x）}{x}$＞ag（x）+1-a?f（x）＞axg（x）+（1-a）x，$\frac{f（x）}{x}$＜bg（x）+1-b?f（x）＜bxg（x）+（1-b）x，设函数h（x）=f（x）-cxg（x）-（1-c）x，通过导数判断单调性，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
即有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
f（x）+g（x）=2e^x，f（-x）+g（-x）=2e^-x，
即为-f（x）+g（x）=2e^-x，
解得f（x）=e^x-e^-x，g（x）=e^x+e^-x；
（Ⅱ）当x≥0时，f′（x）=e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，
当且仅当x=0时，f（x）的切线的斜率取得最小值2；
g′（x）=e^x-e^-x在[0，+∞）递增，可得x=0时，
g（x）的切线的斜率取得最小值0；
（Ⅲ）证明：f′（x）=e^x+e^-x=g（x），
g′（x）=e^x-e^-x=f（x），
当x＞0时，$\frac{f（x）}{x}$＞ag（x）+1-a?f（x）＞axg（x）+（1-a）x，
$\frac{f（x）}{x}$＜bg（x）+1-b?f（x）＜bxg（x）+（1-b）x，
设函数h（x）=f（x）-cxg（x）-（1-c）x，
h′（x）=f′（x）-c（g（x）+xg′（x））-（1-c）
=g（x）-cg（x）-cxf（x）-（1-c）=（1-c）（g（x）-1）-cxf（x），
①若c≤0则h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，（x＞0），
即有f（x）＞cxg（x）+（1-c）x，故$\frac{f（x）}{x}$＞ag（x）+1-a成立；
②若c≥1则h′（x）＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，h（x）＜h（0）=0，（x＞0），
即有f（x）＜cxg（x）+（1-c）x，故$\frac{f（x）}{x}$＜bg（x）+1-b成立．
综上可得，当x＞0时，a g（x）+（1-a）＜$\frac{f（x）}{x}$＜b g（x）+（1-b），
即有当x＞0时，曲线y=$\frac{f（x）}{x}$在曲线y=ag（x）+2（1-a）和y=bg（x）+2（1-b）之间，
且相互之间没有公共点．

点评 本题考查函数的奇偶性的运用，主要考查函数的解析式的求法和不等式的证明，同时考查指数函数的单调性和基本不等式的运用，以及导数的运用：判断单调性，属于中档题．