Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{a^2}+{c^2}-{b^2}）$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．

Answer 1

分析 （I）由S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{a^2}+{c^2}-{b^2}）$=$\frac{1}{2}$acsinB，代入cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，即可得出．
（II）由a，b，c成等比数列，可得ac=b²，由正弦定理可得：sinAsinC=sin²B．

解答 解：（I）在△ABC中，∵S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{a^2}+{c^2}-{b^2}）$=$\frac{1}{2}$acsinB，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$．
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（II）∵a，b，c成等比数列，
∴ac=b²，
由正弦定理可得：sinAsinC=sin²B=$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．