Question

已知命题p：“?x∈[1，2]，

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x²-ln x-a≥0”与命题q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”都是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：本题考查的一元二次不等式的解法，及一元二次方程的根的分布与系数的关系．由命题p：“?x∈[1，2]，

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x²-ln x-a≥0”是真命题，则a≤

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x²-lnx，x∈[1，2]，即a小于等于函数y=

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x²-lnx，x∈[1，2]的最小值；由命题q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”是真命题，则方程x²+2ax-8-6a=0的判别式△=4a²+32+24a≥0，然后构造不等式组，解不等式组，即可得到答案．

解答：解：∵?x∈[1，2]，

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x²-lnx-a≥0，
∴a≤

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x²-lnx，x∈[1，2]，
令f（x）=

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x²-lnx，x∈[1，2]，
则f′（x）=x-

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，
∵f′（x）=x-

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＞0（x∈[1，2]），
∴函数f（x）在[1，2]上是增函数、
∴f（x）_min=

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，∴a≤

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．
又由命题q是真命题得△=4a²+32+24a≥0，
解得a≥-2或a≤-4．
因为命题p与q均为真命题，
所以a的取值范围为（-∞，-4]∪[-2，

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]

点评：f（x）＞m恒成立，则m小于f（x）的最小值；
f（x）＜m恒成立，则m大于f（x）的最大值；
f（x）≥m恒成立，则m小于等于f（x）的最小值；
f（x）≤m恒成立，则m大于等于f（x）的最大值．