Question

10．平行四边形ABCD的顶点A为双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的中心，顶点B为双曲线的右焦点，顶点C在y轴正半轴上，顶点D恰好在该双曲线左支上，若∠ABC=45°，则此双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+3}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由题意可知：求得D点坐标，代入双曲线方程，整理得：c⁴-3a²c²+a⁴=0，同除以a⁴，由e＞1，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知：B（c，0），由tan∠ABC=$\frac{丨AC丨}{丨BC丨}$=1，即丨AC丨=丨BC丨=c，
由平行四边形的性质可知：丨CD丨=丨AB丨=c，
则D点坐标为：D（-c，c），
代入双曲线方程可知：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
由c²=a²+b²，整理得：c⁴-3a²c²+a⁴=0，同除以a⁴，
由e=$\frac{c}{a}$，
∴e⁴-3e²+1=0，解得：e²=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
由e²＞0，则e²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
由e＞1，
∴e=$\sqrt{（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，平行四边形的性质，考查计算能力，属于中档题．