Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆${C_1}：{（x+3）^2}+{（y-1）^2}=4$和圆${C_2}：{（x-4）^2}+{（y-5）^2}=4$．
（1）若直线l过点A（-1，0），且与圆C₁相切，求直线l的方程；
（2）设P为直线$x=-\frac{3}{2}$上的点，满足：过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等．试求满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，设方程，利用直线l₁过点A（2，0），且与圆C₁相切，建立方程求出斜率，即可求出直线l₁的方程；
（2）设点P坐标为$（-\frac{3}{2}，n）$，直线l₁、l₂的方程分别为：$y-n=k（x+\frac{3}{2}）（k≠0），y-n=-\frac{1}{k}（x+\frac{3}{2}）$，
即$kx-y+n+\frac{3}{2}k=0，x+ky-kn+\frac{3}{2}=0$，利用直线l₃被圆C₁截得的弦长与直线l₄被圆C₂截得的弦长相等，可得$\frac{{|-3k-1+n+\frac{3}{2}k|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|4+5k-kn+\frac{3}{2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，化简利用关于k的方程有无穷多解，即可得出结论．

解答 解：（1）设直线l的方程为：y=k（x+1），即kx-y+k=0…（1分）
圆心C₁到直线l的距离d=2，…（2分）
结合点到直线距离公式，得$\frac{|-3k-1+k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，…（3分）
求得$k=\frac{3}{4}$…（4分）
由于直线x=-1与圆C₁相切．…（5分）
所以直线l的方程为：x=-1或$y=\frac{3}{4}（x+1）$，即x=-1或3x-4y+3=0…（6分）
（2）设点P坐标为$（-\frac{3}{2}，n）$，直线l₁、l₂的方程分别为：$y-n=k（x+\frac{3}{2}）（k≠0），y-n=-\frac{1}{k}（x+\frac{3}{2}）$，
即$kx-y+n+\frac{3}{2}k=0，x+ky-kn+\frac{3}{2}=0$…（7分）
因为直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，两圆半径相等，
所以圆心C₁到直线l₁与圆心C₂直线l₂的距离相等．
故有$\frac{{|-3k-1+n+\frac{3}{2}k|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|4+5k-kn+\frac{3}{2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，…（9分）
化简得$（\frac{7}{2}-n）k=-\frac{9}{2}-n，或（\frac{13}{2}-n）k=\frac{13}{2}-n$…（11分）
关于k的方程有无穷多解，有$n=\frac{13}{2}$
所以点P坐标为$（-\frac{3}{2}，\frac{13}{2}）$，经检验点$（-\frac{3}{2}，\frac{13}{2}）$满足题目条件．…（12分）

点评 本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型．