Question

15．已知动点P到直线l₁：x=-2的距离与到点F（-1，0）的距离之比为 $\sqrt{2}$．
（1）求动点P的轨迹Γ；
（2）直线l与曲线Γ交于不同的两点A，B（A，B在x轴的上方）∠OFA+∠OFB=180°：
①当A为椭圆与y轴的正半轴的交点时，求直线l的方程；
②对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线距离公式，整理即可求得动点P的轨迹Γ；
（2）①将直线BF：y=-x-1，代入椭圆方程，即可求得B点坐标，利用直线的斜率公式即可求得直线l的方程；
②直线AB方程：y=kx+b，代入椭圆方程，由韦达定理，及∠OFA+∠OFB=180°，则k_AF+k_BF=0，即可求得b-2k=0，代入直线方程，即可求得直线l总经过点M（-2，0）；
方法二：设直线AF方程：y=k（x+1），代入椭圆方程利用点斜式方程求得x=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$，利用韦达定理即可求得x=2，即可求得直线l总经过点M（-2，0）．

解答 解：（1）设P（x，y），则$\frac{丨x+2丨}{\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
整理得：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
∴动点P的轨迹Γ$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）①A（0，1），F（-1，0），则k_AF=1，k_BF=-1，直线BF：y=-x-1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：3x²+4x=0，解得：x=0，x=-$\frac{4}{3}$，
代入y=-x-1，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$（舍），$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，则B（-$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
k_AB=$\frac{1-\frac{1}{3}}{0-（-\frac{4}{3}）}$=$\frac{1}{2}$，
直线AB：y=$\frac{1}{2}$x+1，
②设方法一：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB方程：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，（k²+$\frac{1}{2}$）x²+2kbx+b²-1=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2kb}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，
由∠OFA+∠OFB=180°，则k_AF+k_BF=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{k{x}_{1}+b}{{x}_{1}+1}$+$\frac{k{x}_{2}+b}{{x}_{2}+1}$=$\frac{（k{x}_{1}+b）（{x}_{2}+1）+（k{x}_{2}+b）（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=0，
则2kx₁x₂+（k+b）（x₁+x₂）+2b=2k×$\frac{{b}^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$-（k+b）×$\frac{2kb}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$+2b=0，
则b-2k=0，
∴直线AB方程：y=k（x+2），直线l总经过点M（-2，0）．

解法二：由于OFA+∠OFB=180°，则B关于x轴的对称点B₁在直线AF上，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），B₁（x₂，-y₂）
设直线AF方程：y=k（x+1），
代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；得：
（k²+$\frac{1}{2}$）x²+2kx+k²-1=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，x₁x₂=$\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，
则k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，AB的方程为：y-y₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），令y=0，得：x=x₁-y₁×$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$，
y₁=k（x₁+1），-y₂=k（x₂+1），
x=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$=2，
∴直线l总经过定点M（-2，0）．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．