Question

5．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所围成的四边形的正方形，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为$\sqrt{2}$+1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x+y=0上，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1））设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a+c=\sqrt{2}+1}\\{a=\sqrt{2}c}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a，b，c即可得出．
（2）由题意可知直线AB斜率存在，设为k，且设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F（-1，0）．设直线AB的方程为：y=k（x+1），与椭圆方程联立化为：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．设线段AB的中点坐标M（x₀，y₀），利用根与系数的关系、中点坐标公式代入直线直方程x+y=0解出k．

解答 解：（1））设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a+c=\sqrt{2}+1}\\{a=\sqrt{2}c}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）由题意可知直线AB斜率存在，设为k，且设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F（-1，0）．
设直线AB的方程为：y=k（x+1），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化为：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
设线段AB的中点坐标M（x₀，y₀），
则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2k}{2}$=$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$．
∵线段AB的中点在直线方程x+y=0上，
∴-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=0，化为2k²-k=0，解得k=0或k=$\frac{1}{2}$．
∴直线AB的方程为：y=0或y=$\frac{1}{2}$（x+1），即y=0或x-2y+1=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．