如图.正方形ABCD的边长为2.O为AD的中点.射线OP从OA出发.绕着点O顺时针方向旋转至OD.在旋转的过程中.记∠AOP为x.OP所经过的在正方形ABCD内的区域.那么对于函数f(x)有以下三个结论.其中正确的是( )①f=$\frac{\sqrt{3}}{2}$②函数f(x)在上为减函数③任意x∈[0.$\frac{π}{2}$].都有f=4．A．①B．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π），OP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论，其中正确的是（　　）
①f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
②函数f（x）在（$\frac{π}{2}$，π）上为减函数
③任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）+f（π-x）=4．

A．

①

B．

③

C．

①③

D．

①②

分析由图形可得函数的解析式，再分别判断，即可得出结论．

解答解：当0≤x≤arctan2时，f（x）=$\frac{1}{2}$tanx；
当arctan2＜x＜$\frac{π}{2}$，在△OBE中，f（x）=S_矩形OABM-S_△OME
=2-$\frac{1}{2}$EM•OM=2-$\frac{2}{tanx}$；
当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）=2；
当$\frac{π}{2}$＜x≤π-arctan2时，同理可得f（x）=2-$\frac{2}{tanx}$．
当π-arctan2＜x≤π时，f（x）=4-$\frac{1}{2}$×1×tan（π-x）=4+$\frac{1}{2}$tanx．于是可得：
①f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$tan$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，正确；
②当$\frac{π}{2}$＜x≤π-arctan2时，由f（x）=2-$\frac{2}{tanx}$，为增函数．当π-arctan2＜x≤π时，f（x）=4+$\frac{1}{2}$tanx，为增函数，因此不正确．
③?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，由图形及其上面，利用对称性可得：f（x）+f（π-x）=4，因此正确；
故选C．

点评本题考查了图形面积的计算、正切函数的单调性、简易逻辑的判定，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

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A．

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B．

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C．

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D．

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B．

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C．

{-2，-1，0，1，2，3}

D．

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