【题目】已知函数.
(1)试讨论的单调性;
(2)若有两个极值点
,
,且
,求证:
.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求导,
,讨论
两种情况即可得解(2)
,
由题意
,
是方程
的两个根,所以
,①
,②联立①②得出
,所以
令
,所以
,
,因此只需证明当
时,不等式
成立即可,即不等式
成立,构造差函数研究单调性即可得证.
试题解析:
(1)函数的定义域为
,
,
令,
,
当时,解得
,此时
在
上恒成立,
故可得在
上恒成立,即当
时,
在
上单调递增.
当时,解得
或
,
方程的两根为
和
,
当时,可知
,
,此时在
上
,
在
上单调递增;
当时,易知
,
,此时可得
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增.
综上可知,当时,
在
上单调递增;
当时,
在区间
和区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
(2),
,由题意
,
是方程
的两个根,所以
,①
,②
①②两式相加可得,③
①②两式相减可得,④
由③④两式消去可得
,
所以,
设,因为
,所以
,所以
,
,
因此只需证明当时,不等式
成立即可,即不等式
成立.
设函数,由(1)可知,
在
上单调递增,故
,即证得当
时,
,亦即证得
,
所以,即证得
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图四棱锥中,
平面
,底面
是梯形,
,
,
,
,
,
为
的中点,
为
上一点,且
(
).
(1)若时,求证:
平面
;
(2)若直线与平面
所成角的正弦值为
,求异面直线
与直线
所成角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】椭圆(
)的左、右焦点分别为
,
,过
作垂直于
轴的直线与椭圆
在第一象限交于点
,若
,且
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点关于
轴的对称点
在抛物线
上,是否存在直线
与椭圆交于
,使得
的中点
落在直线
上,并且与抛物线
相切,若直线
存在,求出
的方程,若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt中,
,点
、
分别在线段
、
上,且
,将
沿
折起到
的位置,使得二面角
的大小为
.
(1)求证:;
(2)当点为线段
的靠近
点的三等分点时,求
与平面
所成角
的正弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数(
)在同一半周期内的图象过点
,
,
,其中
为坐标原点,
为函数
图象的最高点,
为函数
的图象与
轴的正半轴的交点,
为等腰直角三角形.
(1)求的值;
(2)将绕原点
按逆时针方向旋转角
,得到
,若点
恰好落在曲线
(
)上(如图所示),试判断点
是否也落在曲线
(
)上,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的长轴长是短轴长的
倍,且过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若的顶点
、
在椭圆上,
所在的直线斜率为
,
所在的直线斜率为
,若
,求
的最大值.
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【题目】为了解某地区某种农产品的年产量x(单位:吨)对价格y(单位:千元/吨)和利润z的影响,对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表:
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 7.0 | 6.5 | 5.5 | 3.8 | 2.2 |
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)若每吨该农产品的成本为2千元,假设该农产品可全部卖出,预测当年产量为多少时,年利润z取到最大值?(保留两位小数)
参考公式: ,
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