【题目】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍,且过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若的顶点、在椭圆上, 所在的直线斜率为, 所在的直线斜率为,若,求的最大值.
【答案】(1);(2)2.
【解析】试题分析:(1)根据椭圆长轴与短轴的关系列出一个方程,再根据椭圆过已知点列出一个方程,解方程组求出a,b,写出椭圆的标准方程;(2)由于OA和OB的斜率乘积为定值,因此OA的斜率为,则OB的斜率可表示为,分别把射线OA、OB的方程与椭圆的方程联立,求出A、B两点的横坐标,得出两点的横坐标的积,根据OA、OB方程得出A、B两点的纵坐标的积,从表示出数量积,再利用基本不等式求出最值.
试题解析:
(1)由题意得解得
∴椭圆的标准方程为.
(2)设, ,不妨设, .
由,∴(),
直线、的方程分别为, ,
联立
解得, .
∵ ,
当且仅当时,等号成立.
所以的最大值为2.
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【题目】【2018湖北七市(州)教研协作体3月高三联考】已知椭圆: 的左顶点为,上顶点为,直线与直线垂直,垂足为点,且点是线段的中点.
(I)求椭圆的方程;
(II)如图,若直线: 与椭圆交于, 两点,点在椭圆上,且四边形为平行四边形,求证:四边形的面积为定值.
【答案】(I);(II)
【解析】试题分析:(1)根据题意可得, 故斜率为,由直线与直线垂直,可得,因为点是线段的中点,∴点的坐标是,
代入直线得,连立方程即可得, ;(2)∵四边形为平行四边形,∴,设, , ,∴ ,得,将点坐标代入椭圆方程得,
点到直线的距离为,利用弦长公式得EF,则平行四边形的面积为
.
解析:(1)由题意知,椭圆的左顶点,上顶点,直线的斜率,
得,
因为点是线段的中点,∴点的坐标是,
由点在直线上,∴,且,
解得, ,
∴椭圆的方程为.
(2)设, , ,
将代入消去并整理得 ,
则, ,
,
∵四边形为平行四边形,∴ ,
得,将点坐标代入椭圆方程得,
点到直线的距离为, ,
∴平行四边形的面积为
.
故平行四边形的面积为定值.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知函数, .
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)当时,求证:函数有两个不相等的零点, ,且.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,过点的直线的参数方程为(为参数),直线与曲线相交于两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)若,求的值.
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【题目】已知圆与直线相切.
(1)若直线与圆交于两点,求;
(2)设圆与轴的负半轴的交点为,过点作两条斜率分别为的直线交圆于两点,且,试证明直线恒过一定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
立定跳远(单位:米) | 1.96 | 1.92 | 1.82 | 1.80 | 1.78 | 1.76 | 1.74 | 1.72 | 1.68 | 1.60 |
30秒跳绳(单位:次) | 63 | a | 75 | 60 | 63 | 72 | 70 | a1 | b | 65 |
在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则
(A)2号学生进入30秒跳绳决赛
(B)5号学生进入30秒跳绳决赛
(C)8号学生进入30秒跳绳决赛
(D)9号学生进入30秒跳绳决赛
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.
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【题目】下列说法:
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;
②设有一个回归方程=3-5x,变量x增加一个单位时,y平均增加5个单位;
③线性回归方程=x+必过(,);
④在一个2×2列联表中,由计算得K2=13.079,则有99%以上的把握认为这两个变量间有关系.
其中错误的个数是( )
本题可以参考独立性检验临界值表:
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
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