Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公比是正数的等比数列{b_n}的前n项和为T_n，已知a₁＝1，b₁＝3，a₂＋b₂＝8，T₃－S₃＝15.

(1)求{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)若数列{c_n}满足a₁c_n＋a₂c_n－1＋…＋a_n－1c₂＋a_nc₁＝2^n＋1－n－2对任意n∈N^*都成立，求证：数列{c_n}是等比数列．

Answer 1

(1)解　设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q(q>0)．

(2)证明　由c_n＋2c_n－1＋…＋(n－1)c₂＋nc₁＝2^n＋1－n－2，

知c_n－1＋2c_n－2＋…＋(n－2)c₂＋(n－1)c₁＝2ⁿ－(n－1)－2(n≥2)．

两式相减：c_n＋c_n－1＋…＋c₂＋c₁＝2ⁿ－1(n≥2)，

∴c_n－1＋c_n－2＋…＋c₂＋c₁＝2^n－1－1(n≥3)，

∴c_n＝2^n－1(n≥3)．

当n＝1,2时，c₁＝1，c₂＝2，适合上式．

∴c_n＝2^n－1(n∈N^*)，

即{c_n}是等比数列．