Question

已知F₁，F₂分别是椭圆C：

x2

16

+

y2

12

=1的左、右焦点，定点A（3，1），动点P（x，y）在椭圆上，下列命题正确的是

 

（请填上正确命题的序号）
 ①定点A（3，1）在椭圆C的外部；
②三角形PF₁F₂的周长为定值； 
③|PF₁|•|PF₂|的最大值为16；
④|PA|+2|PF₂|最小值为5；
⑤|PA|-2|PF₁|的最小值为-11．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：由椭圆方程求出长半轴和半焦距．
把A点坐标代入椭圆方程判断①；由椭圆的定义判断②；由椭圆的定义结合不等式求最值判断③；把2|PF₂|转化为椭圆上的动点P到右准线的距离，结合点到直线的距离判断④；把|PF₁|利用椭圆定义转化为2a-
|PF₂|，结合④中的结论判断⑤．

解答： 解：椭圆C：

x2

16

+

y2

12

=1的长半轴a=4，c=

a2-b2

=

16-12

=2．
对于①，把A（3，1）代入

x2

16

+

y2

12

=1，
∵

32

16

+

12

12

=

31

48

＜1，
∴定点A（3，1）在椭圆C的内部，命题①错误；
对于②，∵动点P（x，y）在椭圆上，且F₁，F₂分别是椭圆C的左、右焦点，
∴三角形PF₁F₂的周长为定值2a+2c=12，命题②正确；
对于③，∵|PF₁|+|PF₂|=2a=8，
∴|PF₁|•|PF₂|≤(

|PF1|+|PF2|

2

)2=42=16，命题③正确；
对于④，椭圆的离心率e=

1

2

，由椭圆的第二定义知，2|PF₂|为椭圆上的动点P到右准线的距离，
则|PA|+2|PF₂|最小值为P到右准线的距离，等于

a2

c

-3=

16

2

-3=5，命题④正确；
对于⑤，由椭圆的定义知，|PF₁|=2a-|PF₂|，
∴|PA|-2|PF₁|=|PA|-2（2a-|PF₂|）=-4a+|PA|+2|PF₂|=-16+5=-11，命题⑤正确．
∴正确的命题是②③④⑤．
故答案为：②③④⑤．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了椭圆的基本性质，体现了数学转化思想方法，是中档题．