Question

4．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的极坐标为（5，0），点M的极坐标为（4，$\frac{π}{2}$），若直线l过点P，且倾斜角为$\frac{π}{3}$，圆C以M为圆心，4为半径．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）试判断直线l和圆C的位置关系．

Answer 1

分析 （1）直接由已知写出直线l的极坐标方程和圆的极坐标方程；
（2）求出M的直角坐标，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，由点到直线的距离公式判断圆心到直线的距离，比较与圆的半径的关系得答案．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=-\frac{5\sqrt{3}}{2}$，圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ；
（2）∵M（4，$\frac{π}{2}$），对应的直角坐标为（0，4），
由直线l：$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=-\frac{5\sqrt{3}}{2}$，得$ρsinθcos\frac{π}{3}-ρcosθsin\frac{π}{3}=-\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
化为普通方程为$\sqrt{3}x-y-5\sqrt{3}=0$，
圆心到l的距离d=$\frac{|0-4-5\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}=\frac{4+5\sqrt{3}}{2}＞4$，
∴直线l与圆C相离．

点评 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线与圆的位置关系的应用，训练了点到直线距离公式的应用，是基础题．