Question

1．把函数f（x）=x²cosx在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为x₁，x₂，…，x_n，…，则对任意正整数n必有（　　）

• A． -$\frac{π}{2}$＜x_n+1-x_n＜0
• B． 1＜x_n+1-x_n＜$\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{2}$＜x_n+1-x_n＜π
• D． π＜x_n+1-x_n＜$\frac{3π}{2}$

Answer 1

分析 求函数f（x）的导数，令导数等于0，求方程的根，判断方程的根都是函数f（x）的极值点，确定出方程根的取值范围；然后利用不等式的性质及两角差的正切公式求出x_n+1-x_n的范围．

解答 解：f′（x）=2xcosx-x²sinx，
由f′（x）=0，x∈（0，+∞）得：
x=$\frac{2}{tanx}$，x∈（0，+∞）
设x₀是方程x=$\frac{2}{tanx}$的任意正实数根，即${x}_{0}=\frac{2}{ta{nx}_{0}}$，
则存在非负整数k，使x₀∈（kπ，kπ$+\frac{π}{2}$）．
当x∈（kπ，x₀）时，f′（x）＞0，当x∈（kπ，x₀）时，f′（x）＞0，$当x∈（{x}_{0}，kπ+\frac{π}{2}）时，f′（x）＜0$，
所以满足方程x=$\frac{2}{tanx}$的正根都是函数f（x）在（0，+∞）内的极值点．
∴（k-1）π$＜{x}_{n}＜（k-1）π+\frac{π}{2}$，kπ$＜{x}_{n+1}＜kπ+\frac{π}{2}$，k∈N．
∴$\frac{π}{2}＜$x_n+1-x_n$＜\frac{3π}{2}$．
又∵x_n+1-x_n=$\frac{2}{tan{x}_{n+1}}-\frac{2}{tan{x}_{n}}$=$\frac{2（tan{x}_{n}-tan{x}_{n+1}）}{tan{x}_{n+1}tan{x}_{n}}$=$\frac{2tan（{x}_{n}-{x}_{n+1}）（1+tan{x}_{n}tan{x}_{n+1}）}{tan{x}_{n}tan{x}_{n+1}}$＞0
由于$\frac{（1+tan{x}_{n}tan{x}_{n+1}）}{tan{x}_{n}tan{x}_{n+1}}＞0$，所以tan（x_n-x_n+1）＞0，
∴x_n+1-x_n＜π．
综上：$\frac{π}{2}＜{x}_{n+1}-{x}_{n}＜π$．
故选C．

点评 本题考查了函数的极值、三角方程及不等式的性质，综合性较强，解答本题的关键是确定每一个极值点的范围．