Question

不等式x²+2x＜

a

b

+

16b

a

对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（　　）

• A、h_max（x）
• B、（-∞，-2）∪（0，+∞）
• C、（-4，2）
• D、（-∞，-4）∪（2，+∞）

Answer 1

考点：基本不等式,二次函数的性质

专题：不等式的解法及应用

分析：a，b＞0，利用基本不等式的性质可得

a

b

+

16b

a

的最小值，由于不等式x²+2x＜

a

b

+

16b

a

对任意a，b∈（0，+∞）恒成立?不等式x²+2x＜(

a

b

+

16b

a

)min，a，b＞0．即可得出．

解答： 解：∵a，b＞0，∴

a

b

+

16b

a

≥2

a b × 16b a

=8，当且仅当a=4b＞0时取等号．
∵不等式x²+2x＜

a

b

+

16b

a

对任意a，b∈（0，+∞）恒成立?不等式x²+2x＜(

a

b

+

16b

a

)min，a，b＞0．
∴x²+2x＜8，解得-4＜x＜2．
∴实数x的取值范围是（-4，2）．
故选：C．

点评：本题考查了基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．