Question

6．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$，1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$，…
依此类推可得：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$
其中m≤n，m，n∈N^*，则m+n=23．

Answer 1

分析 结合裂项相消法，得到$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{11}$+$\frac{1}{12}$，解得m，n值，可得答案．

解答 解：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$
∵2=1×2，
6=2×3，
20=4×5，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
∴1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$=（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{11}$），
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{11}$+$\frac{1}{12}$，
∴m+n=11+12=23，
故答案为：23．

点评 本题考查的知识点是归纳推理，但本题运算强度较大，属于基础题．