Question

3．随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=$\frac{a}{n（n+1）}$（n=1，2，3，4，…，10），中a是常数，则P（$\frac{1}{2}$＜X＜$\frac{5}{2}$）的值为（　　）

• A． $\frac{7}{15}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{11}{15}$
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 由P（X=n）=$\frac{a}{n（n+1）}$=a（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），（n=1，2，3，4，…，10），得到a（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$）=$\frac{10a}{11}$=1，求出a=$\frac{11}{10}$，由此能求出P（$\frac{1}{2}$＜X＜$\frac{5}{2}$）．

解答 解：∵随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=$\frac{a}{n（n+1）}$=a（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
（n=1，2，3，4，…，10），中a是常数，
∴a（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$）=$\frac{10a}{11}$=1，
解得a=$\frac{11}{10}$，
∴P（$\frac{1}{2}$＜X＜$\frac{5}{2}$）=p（X=1）+P（X=2）=a（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）=$\frac{11}{10}×\frac{2}{3}$=$\frac{11}{15}$．
故选：C．

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．