Question

14．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，DE∥PA，PA=2DE=AB，F为PC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）求点A到平面PEC的距离．

Answer 1

分析 （1），连接DB，AC，设AC，DB交于点H，则H为AC中点可得四边形EDHF为平行四边形，即EF∥DB，EF∥平面ABCD．
（2）设点A到平面PEC的距离为d，由V_C-APE=V_A-PEC，即$\frac{1}{3}×\sqrt{6}×d=\frac{1}{3}×2×2$，解得d．

解答 解：（1）如图，连接DB，AC，设AC，DB交于点H，则H为AC中点
又F为PC的中点，∴$FH∥AP，FH=\frac{1}{2}AP=1$，∴ED∥FH，ED=FH
故四边形EDHF为平行四边形，∴EF∥DB，且EF?面ABCD，∴EF∥平面ABCD．

（2）依题意可得DE$⊥面ABCD\$，即CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}=\sqrt{5}$，
在直角梯形ADEP中，可得PE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{1}}=\sqrt{5}$，
CP=$\sqrt{A{C}^{2}+P{A}^{2}}=2\sqrt{3}$
∴${s}_{△PEC}=\frac{1}{2}×PC×EF=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{5-3}$=$\sqrt{6}$
s_△APE=$\frac{1}{2}×PA×AD=2$
设点A到平面PEC的距离为d，
∵V_C-APE=V_A-PEC，
且CD⊥面ADEP，即$\frac{1}{3}×\sqrt{6}×d=\frac{1}{3}×2×2$，解得d=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$

点评 本题主要考查了线面平行的判定，及利用等体积法求点面距离，属于中档题．