Question

当p₁，p₂，…，p_n均为正数时，称

n

p1+p2+…+pn

为p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”、已知数列{a_n}的各项均为正数，且其前n项的“均倒数”为

1

2n+1

，
（Ⅰ）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=

an

2n+1

，试判断并说明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符号；
（Ⅲ）已知bn=tan(t＞0)，记数列{b_n}的前n项和为S_n，试求

Sn+1

Sn

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用条件求得a₁+a₂++a_n-1+a_n=n（2n+1）和a₁+a₂++a_n-1=（n-1）（2n-1），两式作差就可求出数列{a_n}的通项公式（注意检验n=1是否成立）；     
（Ⅱ）利用 （Ⅰ）求得的数列{a_n}的通项公式代入即可求出c_n+1-c_n再利用函数的单调性就可判断出c_n+1-c_n（n∈N^*）的符号；
（Ⅲ）利用 （Ⅰ）求得的数列{a_n}的通项公式代入即可求出数列{b_n}的通项公式，再对等比数列{b_n}分公比等于1和不等于1两种情况分别求和即可找到

Sn+1

Sn

的值；

解答：解：（Ⅰ）由题得：a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1）  ①，
a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1）       ②，
两式相减，得a_n=4n-1（n≥2）
又

1

a1

=

1

2×1+1

，解得a₁=3=4×1-1，
∴a_n=4n-1（n∈N⁺）．
（Ⅱ）∵cn=

an

2n+1

=

4n-1

2n+1

=2-

3

2n+1

，cn+1=

an+1

2n+3

=2-

3

2n+3

，
∴cn+1-cn=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0，即c_n+1＞c_n．
（Ⅲ）∵bn=tan=t4n-1(t＞0)，
∴S_n=b₁+b₂++b_n=t³+t⁷++t^4n-1，
当t=1时，S_n=n，

Sn+1

Sn

=

n+1

n

；
当t＞0且t≠1时，Sn=

t3(1-t4n)

1-t4

，

Sn+1

Sn

=

1-t4n+4

1-t4n

．
综上得，

Sn+1

Sn

=

n+1 n ，t=1 1-t4n+4 1-t4n ，t＞0，t≠1

点评：本题在利用新定义的条件下考查数列的通项公式以及求和公式，还有利用函数的单调性判断函数值的符号．是一道综合性很强的好题．