Question

10．已知函数f（x）=|x+2|+|x|
（1）解不等式f（x）≤4；
（2）若对?x∈R，恒有f（x）＞|3a-1|成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）≤4的解集．
（2）根据绝地值的意义求得函数f（x）=|x+2|+|x|的最小值为2，故有2＞|3a-1|，由此求得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|x+2|+|x|表示数轴上的x对应点到-2、0对应点的距离之和，
而-3和1对应点到-2、0对应点的距离之和正好等于4，故不等式f（x）≤4的解集为[-3，1]．
（2）函数f（x）=|x+2|+|x|表示数轴上的x对应点到-2、0对应点的距离之和，它的最小值为2，．
若对?x∈R，恒有f（x）＞|3a-1|成立，则有2＞|3a-1|，即-2＜3a-1＜2，求得-$\frac{1}{3}$＜a＜1，
故a的取值范围为（-$\frac{1}{3}$，1）．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．