Question

【题目】平面直角坐标系xoy中，已知椭圆:的离心率为，左、右焦点分别是F1,F2 ， 以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆:为椭圆上任意一点，过点的直线y=kx=m交椭圆 于,两点，射线交椭圆于点.
(1)求的值；
(1)求面积的最大值

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

(1)2;(2)

【解析】（I)由题意知2a＝4，则a＝2,又＝,可得b=1
所以椭圆c的标准方程为，
（II）由（1）知椭圆E的方程为
(1设，=，由题意知，应为,
又,即=2
（2）A,B,将y=kx+m代入E的方程
由，可得.......................①
则有+=
所以=
应为直线y=kx+m与轴交点坐标为（0，m)
所以的面积
,将y=kx+m代入圆C的方程可得
由，可得............................................②
由①②可知
因此，故
当且仅当t=1，即时取最大值
由（1）知，面积为，所以面积最大值为
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义和椭圆的标准方程，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．