Question

【题目】设函数,.
（1）（I）求的单调区间和极值；
（2）（II）证明：若存在零点，则的区间（1，]上仅有一个零点。

Answer 1

【答案】
（1）

f(x)的单调递减区间是（0，），单调递增区间是；

f(x)在处取得极小值。

（2）

见解答

【解析】
（I）由，（）得.由f(x)=0解得。
f(x)与f(x)在区间（0，+）上的情况如下：

x	(0,)		()
f'(x)	-		+
f(x)

所以，f(x)的单调递减区间是（0，），单调递增区间是；
f(x)在处取得极小值。
（II）因为f(x)存在零点，所以，。
当k=e时，f(x)在区间（1，）上单调递减，且,
所以x=时，f(x)在区间（0，）上单调递减，且f(1)=0,,
所以f(x)在区间（1，]上仅有一个零点。
【考点精析】关于本题考查的基本求导法则和利用导数研究函数的单调性，需要了解若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．