【题目】设函数,
.
(1)(I)求的单调区间和极值;
(2)(II)证明:若存在零点,则
的区间(1,
]上仅有一个零点。
【答案】
(1)
f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是
;
f(x)在处取得极小值
。
(2)
见解答
【解析】
(I)由,(
)得
.由f(x)=0解得
。
f(x)与f(x)在区间(0,+)上的情况如下:
x | (0, | ( | |
f'(x) | - | + | |
f(x) |
所以,f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是
;
f(x)在处取得极小值
。
(II)因为f(x)存在零点,所以,
。
当k=e时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且
,
所以x=时,f(x)在区间(0,
)上单调递减,且f(1)=
0,
,
所以f(x)在区间(1,]上仅有一个零点。
【考点精析】关于本题考查的基本求导法则和利用导数研究函数的单调性,需要了解若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导;一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减才能得出正确答案.
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【题目】(2015·陕西)设fn(x)=x+x2+x...+xn-1, nN, n≥2。
(1)fn'(2)
(2)证明:fn(x)在(0,)内有且仅有一个零点(记为an), 且0<an-
<
(
)n.
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【题目】(本题满分15分)某工厂某种航空产品的年固定成本为万元,每生产
件,需另投入成本为
,当年产量不足
件时,
(万元).当年产量不小于
件时,
(万元).每件商品售价为
万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量
(件)的函数解析式;
(2)年产量为多少件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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【题目】平面直角坐标系xoy中,已知椭圆:
的离心率为
,左、右焦点分别是F1,F2 , 以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆:
为椭圆
上任意一点,过点
的直线y=kx=m交椭圆
于
,
两点,射线
交椭圆
于点
.
(1)求的值;
(1)求面积的最大值
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【题目】(2015·湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,点E是BC的中点,连接DE,BD,BE
(I)证明:DE底面PBC,试判断四面体EBCD是否为鳖臑. 若是,写出其四个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;
(Ⅱ)记阳马的体积为
,四面体
的体积为
,求
的值.
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【题目】(2015·陕西)设f(x)=lnx, 0<a<b,若p=f(),q=f(
),r=
(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是( )
A.q=r<p
B.q=r>p
C.p=r<q
D.p=r>q
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