Question

11．设D是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤10}\\{2x+y≥3}\\{x≤4}\\{y≥1}\end{array}\right.$表示的平面区域，P（x，y）是D中任一点，则|x+y-10|的最大值是8．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，设z=x+y-10，利用目标函数的几何意义，利用数形结合先求出z的取值范围，即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=x+y-10，得y=-x+z+10，平移直线y=-x+z+10，
由图象可知当直线y=-x+z+10经过点D时，直线y=-x+z+10的截距最小，此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
代入目标函数z=x+y-10得z=1+1-10=-8．
当直线y=-x+z+10经过点B时，直线y=-x+z+10的截距最大，z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{x+2y=10}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，即B（4，3），
此时z=4+3-10=-3．
即-8≤z≤-3，
则3≤|z|≤8，
故|x+y-10|的最大值是8，
故答案为：8

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义先求出z=x+y-10的取值范围，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．