Question

16．已知函数f（x）=2x+$\frac{1}{x}$．
（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求该函数在区间[-5，-1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）令$f′（x）=2-\frac{1}{{x}^{2}}$=0，则$x=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；根据定义比较f（x₁）-f（x₂）与0的大小即可；
（2）由（1）知，函数f（x）在区间（-∞，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$]上单调递增，所以在区间[-5，-1]上单调递增，从而计算可得答案．

解答 解：由f（x）=2x+$\frac{1}{x}$知$f′（x）=2-\frac{1}{{x}^{2}}$，
（1）令f′（x）=0，则$x=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当$x＞\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f′（x）＞0，即函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；
证明如下：对任意的x₁、x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
有f（x₁）-f（x₂）=2x₁$+\frac{1}{{x}_{1}}$-2x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$
=2（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=2（x₁-x₂）-$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（2-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）
∵x₁、x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$≤1，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；
（2）由（1）知，函数f（x）在区间（-∞，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$]上单调递增，
从而函数f（x）在区间[-5，-1]上单调递增，
所以在此区间上，f（x）_max=f（-1）=$2×（-1）+\frac{1}{-1}$=-3，
f（x）_min=f（-5）=$2×（-5）+\frac{1}{-5}$=$-\frac{51}{5}$．

点评 本题考查用导数、定义法判断函数的单调性，属于中档题．