Question

8．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），试用A，B两点的坐标表示∠AOB的余弦值，并由此求cos$\frac{π}{12}$的值．

Answer 1

分析 利用平面向量的数量积运算法则表示即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为∠AOB，
∴$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{OB}$=（cosβ，sinβ），|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$cos∠AOB，
即cos∠AOB=cosαcosβ+sinαsinβ，
则cos$\frac{π}{12}$=cos（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$+sin$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．

点评 此题考查了两角和与差的余弦函数公式，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．