Question

17．设函数f（x）=cosx-$\sqrt{3}sinx$（x∈R）．
（1）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（2）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c若f（A-$\frac{π}{3}$）=1，且a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）首先通过三角函数的恒等变换，把函数关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的定义域求函数的值域．
（2）利用（1）求出的函数关系式，进一步求出A的大小，在利用正弦定理求出结果．

解答 解：（1）函数f（x）=cosx-$\sqrt{3}sinx$
=2（$\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx$）
=$2cos（x+\frac{π}{3}）$．
由于：$0≤x≤\frac{π}{2}$，
所以：$\frac{π}{3}≤x+\frac{π}{3}≤\frac{5π}{6}$
$-\frac{\sqrt{3}}{2}≤cos（x+\frac{π}{3}）≤\frac{1}{2}$
则：函数f（x）的值域为：[-$\sqrt{3}$，1]．
（2）由（1）知：f（A-$\frac{π}{3}$）=2cosA=1，
解得：cosA=$\frac{1}{2}$，
由于：0＜A＜π
所以：A=$\frac{π}{3}$
且a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
则：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB，
解得：$sinB=\frac{bsinA}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}}•\frac{\sqrt{3}}{2}=1$

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用余弦型函数的定义域求函数的值域，利用函数的关系式求A得值，利用正弦定理函数的正弦值．